Lógica proposicional

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Definición

Parte de la lógica formal cuyo nivel último de análisis son aquellas proposiciones que no pueden descomponerse en otras. A diferencia de la lógica cuantificacional o de predicados, no atiende a la estructura interna de las proposiciones simples. Se trata de la rama de la lógica más simple y básica.


Los signos primitivos

El lenguaje de la lógica proposicional consta de los siguientes signos primitivos:

  • Las variables. Simbolizan proposiciones simples, es decir, aquellas proposiciones inanalizables. Son las letras p, q, r, s, t, etc.
  • Las conectivas lógicas, también llamadas constantes u operadores lógicos. Sirven para enlazar las variables y formar proposiciones complejas. Destacamos las siguientes:
    • La negación (¬). Se lee "no ...". Por ejemplo, la proposición No llueve se simboliza "¬p". Se trata de una conectiva singular ya que es la única que no relaciona variables entre sí, sino que sólo puede afectar a una expresión del cálculo.
    • La conjunción (^). Se lee "... y ...". Por ejemplo, la proposición Llueve y me aburro se simboliza "p ^ q".
    • La disyunción inclusiva o débil (v). Se lee "... o ..., o bien ... y ..." Por ejemplo, la proposición Es verdad que llueve o que soy feliz, o bien que llueve y soy feliz se simboliza "p v q".
    • El condicional (→). Se lee "si ..., entonces ...". Por ejemplo, la proposición Si llueve, entonces las calles se mojan se simboliza "p →q".
    • El bicondicional (↔). Se lee "si y sólo si ..., entonces ...". Por ejemplo, la proposición Si y sólo si un polígono tiene tres lados, entonces es un triángulo se simboliza "p↔q".
  • Los signos auxiliares, que son los paréntesis, los corchetes y las llaves: (, ), [, ], { y }.


Sintaxis y semántica

La lógica proposicional, como lenguaje formalizado, puede considerarse como la unión de un una sintaxis y una semántica.

La sintaxis hace referencia a aquellas reglas que determinan cuáles son las combinaciones correctas de signos. Son las siguientes:

  • p, q, r, s, t, ... son fórmulas bien formadas del cálculo proposicional.
  • Si A es una fórmula bien formada del cálculo, entonces ¬A es también una fórmula bien formada del cálculo.
  • Si A y B son fórmulas bien formadas del cálculo, entonces A ^ B, A v B, A → B y A ↔ B son también fórmulas bien formadas del cálculo.

La semántica hace referencia fundamentalmente a la manera en que se asignan valores de verdad a las expresiones del cálculo. Diremos que el cálculo proposicional es veritativo-funcional en el sentido de que el valor de verdad de sus fórmulas depende (o es función de) los valores de verdad asignados a sus variables. Las conectivas son las que desempeñan el papel de funciones de verdad.

Además de la sintaxis y la semántica, se deben añadir las reglas de inferencia (las reglas de transformación del cálculo) que son las que permiten realizar deducciones.

Propiedades metalógicas

La lógica proposicional posee las siguientes propiedades metalógicas:

  • Consistencia, ya que del cálculo proposicional no puede derivarse ninguna contradicción.
  • Completud, puesto que todas las expresiones verdaderas construidas con los signos del cálculo son demostrables en él.
  • Decidibilidad, porque para cualquier fórmula dada puede determinarse por un procedimiento bien pautado en un número finito de pasos su validez en el cálculo. Este procedimiento algorítmico son las tablas de verdad.
  • La independencia de los axiomas, en el sentido de que ningún axioma del cálculo puede deducirse de otro.
enciclopedista

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