Los argumentos de Zenón

Tradicionalmente, los argumentos de Zenón se clasifican en dos grupos: argumentos contra la multiplicidad y argumentos contra el movimiento. Estas denominaciones son discutibles. El Aquiles, clasificado en este segundo grupo, no se dirige propiamente, como la dicotomía, contra el movimiento, sino más bien contra la conmensurabilidad de dos movimientos ya dados; e incluso podría decirse que el Aquiles va dirigido tanto contra el movimiento como contra la multiplicidad, contra la concepción pitagórica del continuo como compuesto de partes. Los argumentos contra la pluralidad tendrían en común el mantenerse en torno a multiplicidades simultáneas, es decir, en el terreno matemático, que abstrae el tiempo; en cambio, los llamados argumentos contra el movimiento se caracterizarían por incluir la consideración de las magnitudes sucesivas sin excluir naturalmente las simultáneas. Tanto los argumentos contra la pluralidad como los argumentos contra el movimiento serían en última instancia argumentos contra la pluralidad y especialmente contra la pluralidad infinita. Los argumentos podrían clasificarse en dos grupos: argumentos contra la pluralidad cardinal y argumentos contra la pluralidad ordinal, que son los que tradicionalmente se llaman argumentos contra el movimiento. Al destacar, como rasgo común a todos los argumentos de Zenón, el carácter de argumentos contra la multiplicidad, no hacemos sino acatar el diagnóstico de Platón quien, al principio del Parménides contemplando globalmente los argumentos de Zenón, no percibe en ellos una distinción entre pluralidad y movimiento, sino que los ve a todos ellos precisamente como argumentos contra la multiplicidad: «Tú (dice Sócrates dirigiéndose a Parménides) en tus poemas afirmas que todo es uno; él (Zenón) afirma que la pluralidad no existe. De forma que, diciendo tú que todo es uno y él que nada es múltiple, parece que defendéis cosas diferentes, aún cuando en el fondo son las mismas».

Simplemente vamos a sugerir la forma de un sistema de los argumentos contra la pluralidad capaz de exhibir sus verdaderas líneas de fuerza. En particular, obtendríamos una explicación ligada a las claves mismas de la dialéctica de Zenón, la de por qué tanto los argumentos contra la multiplicidad como los argumentos contra el movimiento son cuatro. La razón residiría en que los argumentos están construidos sobre dos pares de dicotomías que se cruzan y sobre las cuales se levantan las tesis y antítesis respectivas.

Sugerimos que los argumentos contra la multiplicidad cardinal consideran las alternativas de una multiplicidad continua y una multiplicidad discreta por un lado; y de una multiplicidad constituida por partes inextensas o extensas por el otro lado. El argumento de la relatividad se movería en la hipótesis de una pluralidad continua en tanto que nos debiera conducir a inadmisibles partes inextensas; el argumento de la adición también operaría sobre el absurdo de unas partes inextensas. El argumento del espacio consideraría, desde luego, la multiplicidad continua compuesta por los lugares, que son a su vez partes extensas; mientras que el argumento numérico, aunque procede en la hipótesis de partes extensas, operaría en el supuesto de que estas partes son discretas.

La siguiente tabla sistemática exhibe la estructura propuesta:

Los argumentos contra la pluralidad podrían resumirse así:

1.°—Argumento de la relatividad.

«Si existen múltiples entes serán grandes y pequeños.»

Adviértase que aquí Zenón no está argumentando sobre la base de una sustantivación infantil de las relaciones grande y pequeño, porque grande, en el contexto de su argumento, significa: «infinitamente grande» y pequeño significa: «infinitamente pequeño». La estructura de este argumento parece claramente antinómica y su verdadera hipótesis sería la siguiente condicional: «si las cosas son múltiples, entonces o tendrían tamaño o no tendrían tamaño». Pero lo condicionado es un dilema que parece agregado desde fuera a la condición. Un modo de explicar su unidad sería el siguiente: suponer que lo infinitamente grande se refiere no ya al ser infinito en tamaño sino al infinito por división. Al menos de este modo podríamos ajustar este argumento a la segunda antinomia kantiana. Sus miembros saldrían de la condición —«si hay cosas múltiples». En efecto: la tesis («llegaríamos a lo infinitamente pequeño, sin tamaño, a lo simple») brota de la condición por la división indefinida (1/n)→0, para n→infinito; o bien, como otros dicen, porque si las unidades de un conjunto tuvieran tamaño, ya no serían unidades al tener partes. La antítesis brota de la hipótesis en virtud del argumento dado en el último párrafo del fragmento, interpretado como un argumento de recurrencia («si las cosas tienen una extensión, habrá distancias entre ellas, entre sus partes y también entre éstas: luego serán infinitas sin que pierdan nunca su tamaño»).

En la interpretación del argumento que sugerimos resultaría que un miembro de la antinomia (debemos llegar a entes inextensos múltiples) habría sido directamente impugnado por Zenón (cuando agrega: «porque a partir de lo simple no cabe reconstruir el conjunto») mientras que el otro miembro (los puntos son infinitos) salvo que se considere refutado por el argumento numérico («lo que existe debe tener un número finito de partes») aparecería favorecido por Zenón.

2.°—Argumento de la adición y de la sustracción. Este argumento está ya incluido en la argumentación del anterior pero se le suele considerar desglosado. «Si al añadir algo a un ente, éste no se hace mayor, lo añadido es nulo. Y si al quitar algo de un ente, éste no se hace menor, lo sustraído no es nada». El concepto de Zenón introduce los infinitésimos como si fueran elementos primitivos, cantidades muy pequeñas que se dan como partes de las cuales arranca el proceso de construcción, términos a quo del proceso; mientras que los infinitésimos son partes a las que se llega arrancando de un todo, términos ad quem, límites.

Con todo no debe olvidarse que el argumento de Zenón no debe pensarse en la perspectiva del Cálculo, sino como un argumento contra la doctrina pitagórica de las magnitudes en cuanto compuesta de puntos.

Con el argumento de la adición y la sustracción se relaciona otro célebre argumento, el de los granos de mijo. El argumento dice que cada grano de mijo, arrojado aisladamente sobre el suelo, no produce ningún sonido; pero cuando arrojamos el montón de granos aparece el sonido. Luego el argumento, comparado con el de la adición, diría que cada grano de mijo no es enteramente silencioso al caer y deberá producir un sonido mínimo imperceptible. Algunos intérpretes, interpretando aisladamente el argumento de los granos de mijo, ven su importancia en lo que él pueda tener de precursor del análisis psicológico o fisiológico de la percepción. Es evidente que el argumento del grano de mijo está relacionado con el de la adición y sustracción. Ahora bien: para que el argumento del grano de mijo no se contradiga con el de la adición y la sustracción, sólo queda el recurso de interpretarlo como su contrafigura. En efecto, el argumento de la adición y sustracción significa que la extensión no se compone de indivisibles, de unidades átomas desemejantes del compuesto. Luego las partes de un compuesto son semejantes al todo y su desemejanza será simplemente aparente, una ilusión de nuestro sentido. El argumento de los granos de mijo ilustraría entonces admirablemente este punto. El ruido global no se compondrá de sucesos absolutamente insonoros, sino insonoros aparentemente.

3.°—Argumento del espacio. «Si todo lo que existe está en un lugar, también el lugar tendrá que estar en otro lugar y así indefinidamente». Lo cual es absurdo, en virtud del argumento numérico.

Este argumento que Aristóteles cita a propósito de su análisis sobre el lugar, acaso está arrancado de un contexto diferente. Parece contener una crítica a la disociación entre las cosas reales y el lugar que ocupan. De él habría que concluir que no existe el vacío y que el lugar no es algo distinto de los cuerpos que lo ocupan. Desde el punto de vista de nuestra tabla: que partiendo de la hipótesis de unas partes continuas y extensas hay que concluir el infinito actual.

4.°—Argumento numérico. Si las cosas son múltiples, deben ser finitas; pero, a la vez, deben ser infinitas, puesto que siempre deberá haber otra cosa entre ellas.

El punto de vista de la Tabla sistemática sugiere que este argumento parte de la hipótesis obvia de que estas partes finitas fueran discretas: hipótesis que en sí misma no parece absurda. Pero es a partir de estas coordenadas como el argumento se construiría en el sentido de un desarrollo conducente a negar la hipótesis: las partes deben ser continuas, por tanto no son partes.

Los argumentos contra la multiplicidad ordinal son los cuatro siguientes:

1.°—Argumento del estadio. Supongamos dos filas iguales de cuerpos. Por ejemplo, carros (B, B, B, B), (G, G, G, G) que se mueven a la misma velocidad y en sentido contrario: los primeros van desde el punto D a la meta E; los otros van de E a D. Entonces, la mitad del tiempo es igual al doble del tiempo.

Supongamos, para explicar esta conclusión, una tercera fila de carros (A, A, A, A,) que sirva de referencia.

Aristóteles dice: al cruzarse los B y los G la primera B alcanza a la última G en el mismo momento en que la primera G alcanza a la última B. Pero resulta que la primera G habrá recorrido a todos los B (y recíprocamente) mientras la primera B (o G) sólo ha recorrido la mitad de los A. Por lo cual el tiempo empleado es sólo la mitad.

Según algunos, para comprender el significado filosófico de este argumento habría que regresar hasta la hipótesis pitagórica de las partes indivisibles del tiempo y del espacio. Evidentemente, en esta hipótesis dialéctica el argumento prueba que en el tiempo en que un B ha conmensurado a dos puntos A un G ha conmensurado a cuatro B: la mitad del tiempo equivale al doble del tiempo. Ahora bien, aunque este regressus exhibe claramente la potencia filosófica del argumento, también cabe percibir el alcance de ella sin necesidad de remontarnos a la hipótesis pitagórica, sino simplemente regresando sobre los conceptos categoriales. Éstos suponen ya admitida la distinción de sentidos en la velocidad, sin menoscabo de un módulo igual. Pero es esta distinción aquello sobre lo cual el argumento regresa, porque el tiempo va asociado ya a un movimiento que tendrá un sentido. El concepto de «tiempo» supone la transitividad de la relación de conmensuración de movimientos, pero precisamente el argumento de los carros muestra que la transitividad no es nada obvia. Si desde B miramos a A, constatamos la velocidad v₁; si desde G miramos a A, la velocidad es v₁; pero si desde B a G, la velocidad es 2v₁. En este sentido, no es hiperbólico afirmar que el argumento de Zenón está estableciendo el concepto relativista de velocidad y de movimiento y está cuestionando el concepto absoluto de movimiento, como desplazamiento de un móvil en el espacio absoluto en un segmento del tiempo absoluto.

Por último, el argumento ¿supone operar con partes finitas o infinitas? Desde luego, parece que el argumento está construido a partir de la premisa de que las partes son finitas, puesto que la representación tiene lugar por medio de letras discretas. También cabe representar el argumento por segmentos continuos, pero entonces habría que medir, lo que implica también un número finito de unidades. Sin embargo, como el camino hacia el instante es la división infinita del continuo, podría pensarse que el argumento de los carros opera con conjuntos infinitos de instantes y de puntos, lo que parece estar en contradicción con el finitismo de sus representaciones. Cabría distinguir el plano de la representación y el plano ontológico. Ahora bien, si suponemos al argumento en la hipótesis de conjuntos infinitos, la conmensuración de B a los infinitos puntos de la mitad de A, a la vez que conmensura al doble de G nos pondrá en presencia de la Idea de infinito («el todo es igual a la parte»). En cualquier caso, el argumento nos obliga a regresar hasta el punto mismo en que los continuos Espacio y Tiempo se articulan entre sí por sus componentes mismos.

2.°—Argumento de la flecha. «En cada instante, está la flecha en un lugar determinado. Luego no puede llegar a su blanco porque de reposos no puede salir el movimiento».

Algunos suponen que este argumento exige partir de la hipótesis de que el tiempo está dividido en infinitos instantes y el espacio en un número finito de partes. En realidad, aunque supongamos que los instantes son finitos, también probaría este argumento en un sentido muy similar al de los granos de mijo: del reposo no sale el movimiento, del silencio no sale el sonido, del no ser no sale el ser. Luego no cabe hablar de instante y si hay movimiento es porque en un instante la flecha está en dos puntos, es decir, en movimiento. Sin embargo, en tanto que el infinito es el camino hacia el instante podemos considerar que el argumento de la flecha implica que el tiempo está dividido en infinitas partes.

3.°—Argumento de la dicotomía. «Un corredor no puede llegar a la extremidad del estadio, pues antes tiene que llegar a su mitad y antes a su mitad». Esto supone que el espacio se considera divisible en infinitas partes —y que el tiempo se considera dividido en un número finito de partes, por lo que sería preciso hacer en un tiempo finito un número infinito de contactos. También es verdad que el argumento podría significar que el atleta necesita un tiempo infinito para recorrer las mitades del estadio, por tanto, que si se supone el tiempo como compuesto de infinitas partes no lo recorre. Según esto, el argumento podría interpretarse como destinado a probar que el tiempo no puede considerarse dividido en infinitos instantes, si es que el espacio se considera dividido en infinitas mitades. Otra vez Zenón nos obliga a regresar hacia el momento de la coordinación entre el espacio y el tiempo.

4°—Argumento Aquiles. «El corredor más lento (una tortuga) nunca será adelantado por el más rápido (Aquiles, «el de los pies ligeros»). Porque antes de que Aquiles llegue al punto donde está la tortuga, deberá alcanzar el punto que la tortuga ocupaba anteriormente, por lo que ésta siempre irá adelantada».

Podemos reexponer el argumento Aquiles de este modo: al comenzar la carrera, la tortuga lleva a Aquiles una ventaja d=(A₀ T₀). Cuando Aquiles llega a la posición A₁ la tortuga, que no está quieta, avanzó a T₁; cuando Aquiles llega a esa posición (A₂) la tortuga, que no se ha detenido, ha llegado a T₂. Y aunque la ventaja disminuya nunca se anulará, porque siempre Aquiles debe ocupar la posición anterior y la tortuga siempre habrá avanzado.

Resulta aquí bastante claro que tanto el espacio como el tiempo están tratados como si se compusieran de partes infinitas. Parece claro que es esencial la forma ordinal según la cual interviene el tiempo: «antes de llegar Aquiles a T_k debe haber ocupado T_k-1». En efecto, Zenón está transformando el problema del infinito cardinal en un problema de infinito ordinal que, al aplicarlo al propio análisis de los términos de la serie, hace que ésta no sea enumerable en un tiempo finito.

Consideraciones análogas a las que hemos hecho a propósito de la Tabla sistemática de los argumentos contra la multiplicidad pueden repetirse ahora. También ahora estarían los argumentos de Zenón operando sobre alternativas dicotómicas, aunque referidas, no ya a un único tipo de multiplicidades sino a dos tipos de multiplicidades: ordinal y cardinal. En cambio, dentro de esas diversas hipótesis, las alternativas se reducirían a una sola: la dicotomía entre lo finito y lo infinito. Habría que discutir también la posibilidad de que estos argumentos estén fundados sobre la distinción entre partes semejantes o desemejantes.

Cabría discutir la siguiente tabla sistemática:

Esta Tabla tendría a su favor el hecho de que «la dicotomía» y «el Aquiles» parecen argumentos que juegan sólo con el espacio, por cuanto la dicotomía no considera representativamente al tiempo, ni el Aquiles dice nada representativamente del tiempo que tardará en producirse el encuentro. Simplemente dice que no se produce en ningún tiempo, es decir, que no hay encuentro espacial: la referencia al tiempo parece extrínseca. En cambio, esta Tabla tiene en su contra que los argumentos del estadio y la flecha «mezclan» explícitamente espacio y tiempo. Y, por otra parte, ocurre que dicotomía y Aquiles incluyen el tiempo, si bien no de un modo recto, sí oblicuo. Se diría que, en ellos, la exclusión del tiempo es precisamente el resultado dialéctico de la argumentación, no su comienzo. La dicotomía comienza considerando una longitud ordenada (el atleta llega al final; antes, a la mitad; antes a la mitad de la mitad...) y el Aquiles supone también este orden de las partes del espacio en la argumentación (cuando Aquiles alcanza la primera posición de la tortuga, ésta ya ha avanzado un trozo, etc.: hay un orden entre los pasos de Aquiles y de la tortuga y este orden es temporal).

Esta tabla permite establecer relaciones entre los argumentos de gran interés:

1) En la columna «espacio finito», aparecen objetos inanimados. En la columna «espacio infinito» aparecen objetos animados.

2) Aristóteles procede ligeramente cuando considera «el Aquiles» como similar a «la dicotomía», diferenciándolo sólo en que no divide en mitades el espacio considerado.

3) Los argumentos que operan con un móvil concluyen formalmente negando el movimiento, o bien porque éste se da por no comenzado e imposible de construir en un progressus o bien porque el movimiento se da como hipótesis cuyo análisis concluye en la inmovilidad.

Partimos de una hipótesis y es el intimo desarrollo de esta hipótesis el que nos conduce a su opuesta.

La dialéctica inherente a la oposición antinómica se nos presenta como más externa y menos constructiva, puesto que los términos que van a oponerse han sido generados independientemente y la oposición se presenta como externa, puesto que es el resultado de una confluencia inesperada. En realidad, podía ocurrir que esta confluencia sólo fuera externa de un modo aparente: hay hipótesis comunes a ambos miembros de la antinomia; o bien las llamadas pruebas de la tesis no son directas, sino apagógicas, por la mediación de la antítesis.

Es interesante comprender que, cuando se ha aplicado el esquema antinómico a los argumentos contra el movimiento de Zenón, se ha hecho a costa de eliminar el significado autónomo de cada argumento y a costa de suprimir todo significado lógico-dialéctico al movimiento. Con la dicotomía y el Aquiles se forma la tesis, puesto que ambos argumentos irían a desembocar en lo mismo: a negar que las cosas están compuestas de indivisibles, que el infinito es absurdo. Con la flecha y el estadio se construiría la antítesis.

La oposición por desarrollo es más sutil, porque brota de la apariencia de un acuerdo. Precisamente el concepto aristotélico de dialéctica pertenece a este modo: Zenón comenzaba adoptando por hipótesis las posiciones del adversario, pero desarrollándolas pretendía llegar a las posiciones contrarias. Adviértase que el concepto de antinomia es ya de índole lógico-formal: dos proposiciones contradictorias no pueden ser verdaderas ni falsas a la vez. Esta es la dificultad que Kant trata de superar mediante la introducción de la materia, de las hipótesis.

El esquema del desarrollo parece presidir, formalmente al menos, algunos de los argumentos de Zenón, principalmente el de la dicotomía y el Aquiles. El argumento de la dicotomía comienza en efecto, con la hipótesis (H) de un corredor que ha llegado al final del estadio. Supuesta esta hipótesis ponemos la tesis T₁ (el corredor ha debido llegar a la mitad del estadio); de T₁ obtenemos T₂, de ésta T₃ y, en el límite, concluimos una proposición equivalente a ¬H:

H→T₁→T₂→T₃→...→T_n (equivale a ¬H)

Tan solo nos limitaremos a indicar que el curso dialéctico del argumento, así analizado (como un regressus a partir de H hasta T_n que establece la imposibilidad del progressus hacia H, por tanto ¬H) mantiene la referencia a esa quiebra de la reversibilidad del proceso racional que muchas veces ha sido señalada como característica de la dicotomía. En sus Etapas de la Filosofía Matemática, Brunschwicg observa que el argumento de la dicotomía nos manifiesta la posibilidad de dividir una línea en partes, pero de tal manera que no cabe recomponerlas.

También el argumento Aquiles está concebido según el esquema del desarrollo. No porque la hipótesis inicial sea: «existe el movimiento» y la terminal su negación: «no existe el movimiento». Podíamos pensar que el argumento se resuelve en un modus tollens de esta condicional: «si el espacio constase de infinitos puntos, no habría encuentro». En todo caso la hipótesis H es aquí: «Aquiles alcanza a la tortuga»; esta es la hipótesis del sentido común, la hipótesis fenómenológica. Y, esto supuesto, el argumento pretende concluir que el contacto no se produce (es decir, ¬H). Adviértase que si se analizase el Aquiles según el esquema antinómico, la tesis (Aquiles alcanza a la tortuga) aparecería demostrada por la percepción y la antítesis por el razonamiento.

La aplicación del esquema del desarrollo a los argumentos de Zenón permite conferir un significado lógico-dialéctico al Tiempo con el cual estos argumentos se ocupan, en lugar de reducirlo a una simple ocasión para reiterar las críticas a la multiplicidad cardinal. El Tiempo, en la dicotomía y en el Aquiles, es algo más que un contenido semántico-material de un argumento que procede formalmente por caminos autónomos. El Tiempo es la expresión semántica de un orden material que corresponde al mismo orden lógico de la derivación.

→ Gustavo Bueno, La metafísica presocrática, Pentalfa, Oviedo 1974, pp. 250-268